卷三十三
　◎律历十三

　○纪元历

　步会

　终分：一十九万八千三百七十七、秒八百八十。

　终：二十七、余一千五百四十七、秒八百八十。

　中：一十三、余四千四百一十八、秒五千四百四十。

　朔差：二、余二千三百二十、秒九千一百二十。

　望策：一十四、余五千五百七十九。

　已上秒母一万。

　率：三百二十四。

　数：四千一百二十七。

　终度：三百六十三、约分七十九、秒四十四。

　中度：一百八十一、约分八十九、秒七十二。

　象度：九十、约分九十四、秒八十六。

　半象度：四十五、约分四十七、秒四十三。

　食历限：三千四百，定法三百四十。

　历限：四千三百，定法四百三十。

　月食限：六千八百，定法四百四十。

　已上分秒母各同一百。

　推天正十一月经朔加时入：置天正十一月经朔加时积分，以终分及秒去之，不尽，满法为，不满为余秒，即天正十一月经朔加时入泛及余秒。

　求次朔及望入：置天正十一月经朔加时入泛及余秒，求次朔，以朔差加之；求望，以望策加之：满终及余秒去之，即各得次朔及望加时入泛及余秒。（若以经朔、望小余减之，各得朔、望夜半入泛及余秒。）

　求定朔望夜半入：因经朔、望夜半入泛及余秒，视定朔、望辰有进退者，亦进退，否则因经为定，各得所求。

　求次定朔夜半入：各因定朔夜半入泛及余秒，大月加二，小月加一，余皆加五千七百四十二、秒九千一百二十，即次朔夜半入；若求次，累加一：满终及余秒皆去之，即每夜半入泛及余秒。

　求定朔望加时入：置经朔、望加时入泛及余秒，以入气、入转朏朒定数朏减朒加之，即得定朔、望加时入泛及余秒。

　求定朔望加时月行入积度：置定朔、望加时入泛及余秒，以法通，内余，进一位，如五千四百五十三而一为度，不满，退除为分，即定朔、望加时月行入积度及分。（每夜半，准此求之。）

　求定朔望加时月行入定积度：置定朔、望加时月行入积度及分，以定朔、望加时入转迟疾度迟减疾加之，（满与不足，进退终度及分。）即定朔、望加时月行入定积度及分。（每夜半，准此求之。）

　求定朔望加时月行入历积度：置定朔、望加时月行入定积度及分，如在中度及分已下为入历积度；已上者去之，余为入历积度。（每夜半，准此求之。）

　求定朔望加时月去黄道度：视月入历积度及分，如象已下为在少象；已上，覆减中度，余为入老象。置所入老、少象度及分于上，列象度于下，以上减下，余以乘上，五百而一，所得，用减所入老、少象度及分，余，列中度于下，以上减下，余以乘上，满一千三百七十五而一，所得为度，不满，退除为分，即为定朔、望加时月去黄道度及分。（每夜半，准此求之。）

　求朔望加时入常：置其月经朔、望加时入泛及余秒，以其月入气朏朒定数朏减朒加之，满与不足，进退其，即得朔、望加时入常及余秒。（近初为初，在二十六、二十七为初；近中为中，在十三、十四为中。）

　求月食甚定数：以其朔望入气、入转朏朒定数，同名相从，异名相消，副置之；以定朔、望加时入转算外损益率乘之，如法而一，（其定朔、望如算外在四七者，视其余在初数已下，初率乘之，初数而一；初数已上，以末率乘之，末数而一。）所得，视入转，应朒者依其损益，应朏者益减损加其副；以朏减朒加经朔望小余，为泛余。（满与不足，进退大余。）食者视泛余，如半法已下，为中前；列半法于下，以上减下，余以乘上，如一万九百三十五而一，所得，为差；以减泛余，为食甚定余；用减半法，为午前分。如泛余在半法已上，减去半法，为中后；列半法于下。以上减下，余以乘上，如法而一，所得，为差；以加泛余，为食甚定余；乃减去半法，为午后分。月食者视泛余，如半法已上减去半法，余在一千八百二十二半已下自相乘，已上者，覆减半法，余亦自相乘，如三万而一，所得，以减泛余，为食甚定余；如泛余不满半法，在出分三分之二已下，列于上位，已上者，用减出分，余倍之，亦列于上位，乃四因三约出分，列之于下，以上减下，余以乘上，如一万五千而一，所得，以加泛余，为食甚定余。

　求月食甚辰刻：倍食甚定余，以辰法除之为辰数，不尽，五因之，满刻法除之为刻，不满为分。命辰数起子正，算外，即食甚辰刻及分。（若加半辰，命起子初。）

　求月食甚入气：（食甚大、小余及食定小余，并定朔、望大余，以此与经朔望大、小余相减。）置其朔望食甚大、小余，与经朔望大、小余相减之，余以加减经朔望入气余，（经朔望少即加之，多即减之。）为、月食甚入气及余秒。各置食甚入气及余秒，加其气中积，其余，以法退除为分，即为、月食甚中积及分。

　求月食甚行积度：置食甚入气余，以所入气盈缩分乘之，法而一，加减其先后数，（至后加，分后减。）先加后减、月食甚中积，即为、月食甚行积度及分。

　求气差：置食甚行积度及分，满二至限去之，余在象限已下为在初；已上，覆减二至限，余为在末。皆自相乘，进二位，满三百四十三而一，所得，用减二千四百三十，余为气差；以午前、后分乘之。如半昼分而一，以减气差，为气差定数。在冬至后末限、夏至后初限，（初以减，中以加。）夏至后末限、冬至后初限，（初以加，中以减。）如半昼分而一，所得，在气差已上者，即以气差覆减之，余应加者为减，减者为加。

　求刻差：置食甚行积度及分，满二至限去之，余列二至限于下，以上减下，余以乘上，进二位，满三百四十三而一，所得为刻差。以午前、后分乘而倍之，如半法而一，为刻差定数。冬至后食甚在午前，夏至后食甚在午后，（初以加，中以减。）冬至后食甚在午后，夏至后食甚在午前，（初以减，中以加。）如半法而一，所得在刻差已上者，即倍刻差，以所得之数减之，余为刻差定数，依其加减。

　求朔入定：置朔入常及余秒，以气、刻差定数各加减之，初加三千一百，中减三千，为朔入定及余秒。

　求望入定：置望入转朏朒定数，以率乘之，如数而一，所得，以朏减朒加入常之余，满与不足，进退其，即望入定及余秒。

　求月行入历：视其朔、望入定及余秒，如在中及余秒已下为月在历；如中及余秒已上，减去中，为月在历。

　求入食限前后分：视其朔、望月行入历，不满者为后分；在十三上下者覆减中，为前分；视前、后分各在食限已下者为入食限。

　求食分：以前、后分各减历食限，余如定法而一，为食之大分；不尽，退除为小分。命大分以十为限，即得食之分。（其食不及大分者，行势稍近交道，光气微有映蔽，其或食或不食。）

　求月食分：视其望前、后分，如二千四百已下者，食既；已上，用减食限，余如定法而一，为月食之大分；不尽，退除为小分。命大分以十为限，得月食之分。

　求食泛用分：置前、后分，自相乘，退二位，历一百九十八而一，历三百一十七而一，所得，用减五百八十三，余为食泛用分。

　求月食泛用分：置前、后分，自相乘，退二位，如七百四而一，所得，用减六百五十六，余为月食泛用分。

　求月食定用分：置、月食泛用分，副之，以食甚加时入转算外损益率乘之，如法而一，（如算外在四、七者，依食定余求之。）所得，应朒者依其损益，应朏者益减损加其副，即为月食定用分。

　求月食既内外分：置月食前、后分，自相乘，退二位，如二百四十九而一，所得，用减二百三十一，余以定用分乘之，如泛用分而一，为月食既内分；用减定用分，余为既外分。

　求月食亏初复满小余：置、月食甚小余，各以定用分减之，为亏初；加之，为复满；其月食既者，以既内分减之，为初既；加之，为生光：即各得所求小余。（如求时刻，依食甚术入之。）

　求月食更点法：置月食甚所入晨分，倍之，减去七百二十九，余五约之，为更法；又五除之，为点法。

　求月食入更点：置亏初、食甚、复末小余，在晨分已下加晨分，昏分已上减去昏分，余以更法除之为更数，不满，以点法除之为点数。其更数命初更，算外，即各得所入更、点。

　求食所起：在历，初起西南，甚于正南，复于东南；在历，初起西北，甚于正北，复于东北。其食八分已上，皆起正西，复于正东。（此据午地而论之。）

　求月食所起：月在历，初起东北，甚于正北，复于西北；月在历，初起东南，甚于正南，复于西南。其食八分已上，皆起正东，复于正西。（此亦据午地而论之。）

　求月出入带食所见分数：各以食甚小余与出、入分相减，余为带食差；以乘所食之分，满定用分而一，（如月食既者，以既内分减带食差，余进一位，如既外分而一，所得，以减既分，即月带食出入所见之分，不及减者，为带食既出入。）以减所食分，即月出、入带食所见之分。（其食甚在昼，晨为渐进，昏为已退；其食甚在夜，晨为已退，昏为渐进。）

　求月食甚宿次：置食甚行积度，（望即更加半周天。）以天正冬至加时黄道度加而命之，即各得、月食甚宿度及分。

　步五星

　木星周率：二百九十万七千八百七十九、秒六十四。

　周差：二十四万五千二百五十三、秒六十四。

　历率：二百六十六万二千六百三十六、秒二十二。

　周：三百九十八、约分八十八、秒六十。

　历度：三百六十五、约分二十四、秒五十。

　历中度：一百八十五、约分六十二、秒二十五。

　历策度：一十五、约分二十一、秒八十五。

　伏见度：一十三。

　木星盈缩历

　火星周率：五百六十八万五千六百八十七、秒六十四。

　周差：三十六万四百一十四、秒四十四。

　历率：二百六十六万二千六百四十七、秒二十。

　周：七百七十九、约分九十二、秒九十七。

　历度：三百六十五、约分二十四、秒六十五。

　历中度：一百八十二、约分六十二、秒三十二半。

　历策度：二十五、约分二十一、秒八十六。

　伏见度：一十九。

　火星盈缩历

　土星周率：二百七十五万六千二百八十八、秒七十八。

　周差：九万三千六百六十二、秒七十八。

　历率：二百六十六万九千九百二十五、秒九十。

　周：三百七十八、约分九、秒一十七。

　历度：三百六十六、约分二十四、秒四十九。

　历中度：一百八十三、约分一十二、秒二十四半。

　历策度：一十五、约分二十六、秒二。

　伏见度：一十七。

　土星盈缩历

　金星周率：四百二十五万六千六百五十一、秒四十三半。

　合：二百九十一、约分九十五、秒一十四。

　历率：二百六十六万二千六百九十六、秒一十六。

　周：五百八十三、约分九十、秒二十八。

　历度：三百六十五、约分二十五、秒三十二。

　历中度：一百八十二、约分六十二、秒六十六。

　历策度：一十五、约分二十一、秒八十九。

　伏见度：一十半。

　金星盈缩历

　水星周率：八十四万四千七百三十八、秒五。

　合：五十七、约分九十三、秒八十一。

　历率：二百六十六万二千七百九十四、秒九十五。

　周：一百一十五、约分八十七、秒六十二。

　历度：三百六十五、约分二十六、秒六十八。

　历中度：一百八十二、约分六十三、秒三十四。

　历策度：一十五、约分二十一、秒九十四半。

　晨伏夕见：一十四。

　夕伏晨见：一十九。

　水星盈缩历

　推五星天正冬至后平合及诸段中积中星：置气积分，各以其星周率除之，所得周数。不尽者，为前合。以减周率，余满法为，不满，退除为分、秒，即其星天正冬至后平合中积；命之为平合中星，以诸段常、常度累加之，即诸段中积、中星。其段退行者，以常度减之，即其段中星。

　求木火土三星平合诸段入历：置其星周数，（求冬至后合，皆加一数置之。）以周差乘之，满其星历率去之，不尽，满法为度，不满，退除为分、秒，即为其星平合入历度及分、秒。以其段限度依次累加之，即得诸段入历。

　求金水二星平合及诸段入历：置气积分，各以其星历率去之，不尽，满法除之为度，不满，退除为分、秒，以加平合中星，即为其星天正冬至后平合入历度及分、秒；以其星其段限度依次累加之，即得诸段入历。

　求五星平合及诸段盈缩定差：各置其星其段入历度及分，如历中已下为在盈；已上减去历中，余为在缩；以其星历策除之为策数，不尽，为入策度及分；命策数，算外，以其策损益率乘之，如历策而一为分，分满百为度；以损益其下盈缩积，即其星其段盈缩定差。

　求五星平合及诸段定积：各置其星其段中积，以其段盈缩定差盈加缩减之，即其段定积及分；以天正冬至大余及约分加之，即为定及分；盈纪法六十去之，不尽，命己卯，算外，即得辰。

　求五星平合诸段所在月：各置其段定积，以天正闰及约分加之，满朔策及约分除之为月数，不尽，为入月已来数及分。其月数命天正十一月，算外，即其星其段入其月经朔数及分，乃以辰相距为定朔月、。

　求五星平合及诸段加时定星：各置其段中星，以其段盈缩定差盈加缩减之，（金星倍之水星三之，乃可加减。）即五星诸段定星；以天正冬至加时黄道度加而命之，即其星其段加时所在宿度及分秒。五星皆因前留为前段初定星，后留为后段初定星，余依术算。

　求五星诸段初晨前夜半定星：各以其段初行率乘其段加时分，百约之，乃以顺减退加其加时定星，即为其段初晨前夜半定星；加命如前，即得所求。

　求诸段率度率：各以其段辰距至后段辰，为其段率；以其段夜半定星与后段夜半定星相减，为其段度率及分秒。

　求诸段平行度：各置其段度率及分秒，以其段率除之，为其段平行度及分秒。

　求诸段总差：各以其段平行分与后段平行分相减，余为泛差；并前段泛差，四因，退一位，为总差。若前段无平行分相减为泛差者，因后段初行分与其段平行分相减，余为半总差；倍之，为总差。若后段无平行分相减为泛差者，因前段末日行分与其段平行分相减，余为半总差，倍之，为总差。晨迟末段，视段无平行分，因前初段末日行分与晨迟末段平行分相减，为半总差；其退行者，各置本段平行分，十四乘之，十五而一，为总差。内金星依顺段术入之，即得所求。（夕迟初段，视前段无平行分，因后末段初行分与夕迟初段平行分相减，为半总差。）

　求诸段初末日行分：各半其段总差，加减其段平行分，（后段平行分多者，减之为初，加之为末；后段平行分少者，加之为初，减之为末。其在退行者，前减之为初，加之为末；后加之为初，减之为末。）各为其星其段初、末日行度及分秒。（如前后段平行分俱多、俱少者，平注之；本段总差不满大分者，亦平注之。）

　求每晨前夜半星行宿次：置其段总差，减率一以除之，为差；累损益初行分，（后行分少，损之；后行分多，益之。）为每行度及分秒；乃顺加退减其段初晨前夜半宿次命之，即每晨前夜半星行所在宿次。

　径求其宿次：置所求，减一，半之，以差乘而加减初行分，（后行分少，减之；后行分多，加之。）以所求乘之，为积度；乃顺加退减其段初宿次，即得所求宿次。

　求五星平合及见伏入气：置定积，以气策及约分除之为气数，不尽，为入气已来数及分秒。其气数命天正冬至，算外，即五星平合及见、伏入气及分秒。（其定积满岁周及分，去之，余，在来年冬至后。）

　求五星合见伏行差：木、火、土三星，以其段初星行分减太阳行分，余为行差。金、水二星顺行者，以其段初太阳行分减星行分，余为行差。金、水二星退行者，以其段初星行分并太阳行分，为行差。

　求五星定合及见伏泛积：木、火、土三星，各以平合晨疾、夕伏定积，便为定合定见、定伏泛积。金、水二星，各置其段盈缩定差，内水星倍之，以其段行差除之为，不满，退除为分秒，在平合夕疾、晨伏者，乃盈减缩加定积，为定合定见、定伏泛积；在退合夕伏、晨见者，用盈加缩减定积，为定合定见、定伏泛积。

　求五星定合定积定星：木、火、土三星，以平合行差除其先后数，为距合差；以先后数减之，为距合差度；以差、差度后加先减其星定合泛积，为其星定合定积、定星。金、水二星顺合者，以平合行差除其先后数，为距合差；以先后数加之，为距合差度；以差、差度先加后减其星定合泛积，为其星定合定积、定星。金、水二星退合者，以退合行差除其先后数，为距合差；以减先后数，为距合差度；以差先减后加，以差度先加后减再定合泛积，为其星再定合积星。各以冬至大余及约分加定积，满纪法去之，命己卯，算外，即得定合辰；以冬至加时黄道度加定星，依宿次去之，即得定合所在宿次。

　求木火土三星定见伏定积：各置其星定见、伏泛积，晨加夕减象限及分秒，如二至限已下自相乘，已上，覆减岁周，余亦自相乘，百约为分，以其星伏见度乘之，十五除之，为差；其差如其段行差而一为，不满，退除为分、秒，见加伏减泛积，为定积；如前加命，即得辰。

　求金水二星定见伏定：夕见、晨伏，以行差除其先后数，为；先加后减泛用积，为常用积。晨见、夕伏，以行差除其先后数，为；先减后加泛用积，为常用积。如常用积在二至限已下为冬至后；已上去之，余为夏至后。其二至后及分在象限已下自相乘，已上，用减二至限，余亦自相乘，如法而一，所得为分；（冬至后晨，夏至后夕，以十八为法；冬至后夕、夏至后晨，以七十五为法。）以伏见度乘之、十五除之，为差；满行差而一为，不满，退除为分秒，加减常用积，为定用积；加命如前，即得定见、伏辰。（冬至后，晨见、夕伏加之，夕见、晨伏减之；夏至后，晨见、夕伏减之，夕见、晨伏加之。）其水星，夕疾在大暑气初至立冬气九三十五分已下者，不见；晨留在大寒气初至立夏气九三十五分已下者，不晨见，秋不夕见。

　熙宁六年六月，提举司天监陈绎言："浑仪尺度与《法要》不合，二极、赤道四分不均，规、环左右距度不对，游仪重涩难运，黄道映蔽横箫，游规璺裂，黄道不合天体，天枢内极星不见。天文院浑仪尺度及二极、赤道四分各不均，黄道、天常环、月道映蔽横箫，及月道不与天合，天常环相攻难转，天枢内极星不见。皆当因旧修整，新定浑仪，改用古尺，均赋辰度，规、环轻利，黄赤道、天常环并侧置，以北际当天度，省去月道，令不蔽横萧，增天枢为二度半，以纳极星，规、环、二极，各设环枢，以便游运。"诏依新式制造，置于司天监测验，以较疏密。七年六月，司天监呈新制浑仪、浮漏于门，帝召辅臣观之，数问同提举官沈括，具对所以改更之理。寻又言："准诏，集监官较其疏密，无可比较。"诏置于翰林天文院。七月，以括为右正言，司天秋官正皇甫愈等赏有差。初，括上《浑仪》、《浮漏》、《景表》三议，见《天文志》。朝延用其说，令改造法物、历书。至是，浑仪、浮漏成，故赏之。

　元丰五年正月，翰林学士王安礼言："详定浑仪官欧发所上浑仪、浮漏木样，具新器之宜，变旧器之失，臣等窃详司天监浮漏，疏谬不可用，请依新式改造。其至道、皇祐浑仪、景表亦各差舛，请如法条奏修正。"从之。元祐四年三月，翰林学士许将等言："详定元祐浑天仪象所先奉诏制造水运浑仪木样，如试验候天不差，即别造铜器，今校验皆与天合。"诏以铜造，仍以元祐浑天仪象为名。将等又言："前所谓浑天仪者，其外形圆，可遍布星度；其内有玑、有衡，可仰窥天象。今所建浑仪象，别为二器，而浑仪占测天度之真数，又以浑象置之密室，自为天运，与仪参合。若并为一器，即象为仪，以同正天度，则浑天仪象两得之矣。请更作浑天仪。"从之，七年四月，诏尚书左丞苏颂撰《浑天仪象铭》。六月，元祐浑天仪象成，诏三省、枢密院官阅之。绍圣元年十月，诏礼部、秘书省，即详定制造浑天仪象所，以新旧浑仪集局官同测验，择其密可用者以闻。

　宣和六年七月，宰臣王黼言：

　臣崇宁元年邂逅方外之士于京师，自云王其姓，面出素书一，道玑衡之制甚详。比尝请令应奉司造小样验之，逾二月，乃成璇玑，其圆如丸，具三百六十五度四分度之一，置南北极、昆仑山及黄、赤二道，列二十四气、七十二候、六十四卦、十干、十二支、昼夜百刻，列二十八宿、并内外三垣、周天星。月循黄道天行，每天左旋一周，右旋一度，冬至南出赤道二十四度，夏至北入赤道二十四度，秋二分黄、赤道而出卯入酉。月行十三度有余，生明于西，其形如钩，下环，西见半规，及望而圆；既望，西缺下环，东见半规，及晦而隐。某星始见，某星已中，某星将入，或左或右，或迟或速，皆与天象吻合，无纤毫差。玉衡植于屏外，持扼枢斗，注水轮，其下为机轮四十有三，钩键错相持，次第运转，不假人力，多者行二千九百二十八齿，少者五行一齿，疾徐相远如此，而同发于一机，其密殆与造物者侔焉。自余悉如唐一行之制。

　然一行旧制机关，皆用铜铁为之，涩即不能自运，今制改以坚木若美玉之类。旧制外络二轮，以缀月，而二轮蔽亏星度，仰视躔次不审，今制月皆附黄道，如蚁行硙上。旧制虽有合望，而月体常圆，上下弦无辨，今以机转之，使圆缺隐见悉合天象。旧制止有候刻辰钟鼓，昼夜短长与出入更筹之度，皆不能辨，今制为司辰寿星，运十二时轮，所至时刻，以手指之，又为烛龙，承以铜荷，时正吐珠振荷，循环自运。其制皆出一行之外。即其器观之，全象天体者，璇玑也；运用水斗者，玉衡也。昔人或谓玑衡为浑天仪，或谓有玑而无衡者为浑天象，或谓浑仪望筒为衡：皆非也。甚者莫知玑衡为何器。唯郑康成以运转者为玑，持正者为衡，以今制考之，其说最近。

　又月之晦明，自昔弗烛厥理，独扬雄云："月未望则载魄于西，既望则终魄于东，其溯于乎？"京房云："月有形无光，照之乃光。"始知月本无光，溯以为光。本朝沈括用弹况月，粉涂其半，以象对之光，正侧视之，始尽圆缺之形。今制与三者之说若合符节。宜命有司置局如样制，相址于明堂或合台之内，筑台陈之，以测上象。又别制三器，一纳御府，一置钟鼓院，一备车驾行幸所用。仍著为成书，以诏万世。

　诏以讨论制造玑衡所为名，命黼总领，内侍梁师成副之。